2.12 一様分布の平均・分散

一様分布は \(a \le x \le b\) で

\(
\begin{eqnarray}
{\rm U}(x|a,b) = \frac{1}{b-a}
\end{eqnarray}
\)

で定義される。一様分布が正規化されているかどうかは \({\rm U}(x|a,b)\)を積分してやれば良い。

\(
\begin{eqnarray}
\int_{a}^b {\rm U}(x|a,b)dx &=& \int_a^b \frac{1}{b-a}dx \\
&=& \frac{1}{b-a}\int_a^b dx \\
&=& \frac{1}{b-a}\bigl[x\bigr]_a^b \\
&=& \frac{1}{b-a}(b-a) \\
&=& 1
\end{eqnarray}
\)

以上で、一様分布が正規化されていることが確認できた。
一様分布の平均を求めてみる。

\(
\begin{eqnarray}
\mathbb{E}[x] &=& \int_{a}^b x{\rm U}(x|a,b)dx \\
&=& \int_{a}^b \frac{x}{b-a}dx \\
&=& \frac{1}{b-a}\int_{a}^b xdx \\
&=& \frac{1}{b-a}\bigl[\frac{1}{2}x\bigr]_a^b \\
&=& \frac{1}{2}\times\frac{1}{b-a}(b^2-a^2) \\
&=& \frac{1}{2}\times\frac{1}{b-a}(b-a)(b+a) \\
&=& \frac{a+b}{2}
\end{eqnarray}
\)

したがって一様分布の平均は\(\frac{a+b}{2}\)であることが分かる。
次に分散。分散は分散の公式\(var[x]=\mathbb{E}[x^2]-\mathbb{E}[x]^2\)から求める。
まず、\(\mathbb{E}[x^2]\) を求める。

\(
\begin{eqnarray}
\mathbb{E}[x^2] &=& \int_{a}^b x^2{\rm U}(x|a,b)dx \\
&=& \int_{a}^b \frac{x}{b-a}x^2dx \\
&=& \frac{1}{b-a}\int_{a}^b x^2dx \\
&=& \frac{1}{b-a}\bigl[\frac{1}{3}x^3\bigr]_a^b \\
&=& \frac{1}{3}\times\frac{1}{b-a}(b^3-a^3) \\
&=& \frac{1}{3}\times\frac{1}{b-a}(b-a)(b^2+ab+a^2) \\
&=& \frac{a^2+ab+b^2}{3}
\end{eqnarray}
\)

したがって、

\(
\begin{eqnarray}
var[x] &=& \mathbb{E}[x^2]-\mathbb{E}[x]^2 \\
&=& \frac{a^2+ab+b^2}{3}-\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 \\
&=& \frac{a^2+ab+b^2}{3}-\frac{a^2+2ab+b^2}{4} \\
&=& \frac{4a^2+4ab+4b^2-3a^2-6ab-3b^2}{12} \\
&=& \frac{a^2-2ab+b^2}{12} \\
&=& \frac{(a-b)^2}{12} \\
\end{eqnarray}
\)

以上より一様分布の分散は\(\frac{(a-b)^2}{12}\)となる。

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