1.7 ガウス分布の規格化条件

ガウス分布の規格化条件を証明するために、

\(
\begin{eqnarray}
I = \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left(-\frac{1}{2\sigma^{2}}x^2\right)dx
\end{eqnarray}
\)

の2乗である \(I^2\) を考える。

\(
\begin{eqnarray}
I^2 &=& \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \exp\left(-\frac{1}{2\sigma^{2}}x^2-\frac{1}{2\sigma^{2}}y^2\right)dxdy \\
&=& \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \exp\left\{-\frac{1}{2\sigma^{2}}(x^2+y^2)\right\}dxdy
\end{eqnarray}
\)

ここで直交座標\((x,y)\)から極座標\((r,\theta)\)に座標変換する。

\(
\begin{cases}
x=rcos\theta \\
y=rsin\theta
\end{cases}
\)

なので \(x^2+y^2=r^2cos^2\theta+r^2sin^2\theta=r^2(cos^2\theta+sin^2\theta)=r^2 \)となる。
座標変換する際にヤコビ行列の行列式、

\(
\begin{eqnarray}
\frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta)} =
\left|
\begin{array}{cc}
\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\
\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \\
\end{array}
\right|
=
\left|
\begin{array}{cc}
cos\theta & -rsin\theta \\
sin\theta & rcos\theta \\
\end{array}
\right|
= rcos^2\theta+rsin^2\theta
= r
\end{eqnarray}
\)

により、\(dxdy = rdrd\theta\) になることに注意。
したがって、

\(
\begin{eqnarray}
I^2 &=& \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{2\pi} r\exp\left(-\frac{1}{2\sigma^{2}}r^2\right)drd\theta \\
&=& 2\pi\int_{0}^{\infty} r\exp\left(-\frac{1}{2\sigma^{2}}r^2\right)dr \\
&=& -2\pi\sigma^2\left[\exp\left(-\frac{1}{2\sigma^{2}}r^2\right)\right]_{0}^{\infty} \\
&=& 2\pi\sigma^2
\end{eqnarray}
\)

したがって、\(I = (2\pi\sigma^2)^{1/2}\) となる。
この結果より、ガウス分布が規格化されていることが分かる。

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