1.24 棄却オプションありの場合の期待損失

§1 期待損失を最小にする決定基準

棄却オプションが無い場合、\(\sum_{k}L_{kj}p(C_k|{\bf x})\)を最小にする\(j\)が\(\bf x\)が割り当てられるクラスである。
棄却オプションがある場合、\(\sum_{k}L_{kj}p(C_k|{\bf x})\)と棄却オプションの損失λを比較して、λの方が小さければ棄却オプションを選択すべきである。
したがって、棄却オプションがある場合、期待損失を最小にする決定基準は、

\(
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
j & min(\sum_{k}L_{kj}p(C_k|{\bf x})) \le λ\\
棄却オプション & otherwise
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\)

となる。

§2 \(L_{kj}=1-I_{kj}\)の決定基準

\(L_{kj}=1-I_{kj}\)の場合、期待損失を最小にする決定基準は「1.22 損失行列\(1−I_{kj}\)」からも分かる通り、

\(
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
j & min(1-p(C_j|{\bf x})) \le λ\\
棄却オプション & otherwise
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\)

となる。
\(1-p(C_k|{\bf x})\)が最小になる\(k\)を\(j\)とすると、

\(
\begin{eqnarray}
1-p(C_k|{\bf x}) \gt λ \\
\rightleftharpoons p(C_k|{\bf x}) \lt 1-λ
\end{eqnarray}
\)

の場合、棄却オプションを選択するということになり、これは1.5.3節の棄却基準と同じになる。
λと棄却しきい値θとの関係は、\(\theta = 1-λ\)であることが分かる。

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