1.22 損失行列\(1-I_{kj}\)

損失行列が\(L_{kj}=1-I_{kj}\)である場合、\(\sum_{k}L_{kj}p(C_k|{\bf x})\)を最小にする\(j\)が\(\bf x\)が割り当てられるクラスである。
例えば、3行3列の\(L_{kj}\)を考えると、

\(
\begin{eqnarray}
L_{kj}p(C_k|{\bf x}) &=& (1-I_{kj})p(C_k|{\bf x}) \\
&=&
\left\{
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{array}
\right)
-
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right)
\right\}
\left(
\begin{array}{c}
p(C_1|{\bf x}) \\
p(C_2|{\bf x})\\
p(C_3|{\bf x})
\end{array}
\right) \\
&=&
\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
p(C_1|{\bf x}) \\
p(C_2|{\bf x})\\
p(C_3|{\bf x})
\end{array}
\right) \\
&=&
\left(
\begin{array}{c}
p(C_2|{\bf x})+p(C_3|{\bf x}) \\
p(C_3|{\bf x})+p(C_1|{\bf x})\\
p(C_1|{\bf x})+p(C_2|{\bf x})
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}
\)

事後確率の合計 \(\sum_{k}p(C_k|{\bf x})\)は1であるので、

\(
\begin{eqnarray}
L_{kj}p(C_k|{\bf x}) &=& (1-I_{kj})p(C_k|{\bf x}) \\
&=&
\left(
\begin{array}{c}
1-p(C_1|{\bf x}) \\
1-p(C_2|{\bf x}) \\
1-p(C_3|{\bf x}) \\
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}
\)

となる。この縦ベクトルのうち、最小になる\(j\)を選択すれば良い。

3行3列でない一般的な場合においても同様で、結局、\(1-p(C_j|{\bf x})\)を最小にする\(j\)を求めれば良い。
これは、\(p(C_j|{\bf x})\)を最大にする\(j\)を求めることと同じである。

この損失行列は、正しい決定をすれば損失は0だが、誤った決定をすれば損失が常に1であるので、誤識別率を最小にする損失行列である。

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