1.21 クラス分類問題の誤識別率

§1 \(a \le (ab)^{1/2}\)の証明

\(0 \lt a \le b\) の場合、

\(
\begin{eqnarray}
a = (a^2)^{1/2} = (a\times a)^{1/2} \le (ab)^{1/2}
\end{eqnarray}
\)

§2 誤識別率の最大値

2クラスのクラス分類問題の誤識別率は

\(
\begin{eqnarray}
p(誤り) = p({\bf x}\in R_1,C_2)+p({\bf x}\in R_2,C_1)
\end{eqnarray}
\)

と定義できる。\(p({\bf x}\in R_1,C_2)\) とはクラス\(C_2\)に関わらず、領域\(R_1\)にあるためクラス\(C_1\)と認識されてしまったものの確率を表す。
積分を使って表現すると、

\(
\begin{eqnarray}
p(誤り) &=& p({\bf x}\in R_1,C_2)+p({\bf x}\in R_2,C_1) \\
&=& \int_{R_1}p({\bf x},C_2)d{\bf x}+\int_{R_2}p({\bf x},C_1)d{\bf x}
\end{eqnarray}
\)

\(\int_{R_1}p({\bf x},C_2)d{\bf x}\)は領域\(R_1\)にあるクラス\(C_2\)である\(\bf x\)の確率をすべて足し合わせたものということ。
ここで

\(
\begin{eqnarray}
\int_{R_1}p({\bf x},C_2)d{\bf x} \le \int_{R_1}p({\bf x},C_1)d{\bf x} \\
\int_{R_2}p({\bf x},C_1)d{\bf x} \le \int_{R_2}p({\bf x},C_2)d{\bf x}
\end{eqnarray}
\)

となっているはずである。\(a \le (ab)^{1/2}\)であるので、

\(
\begin{eqnarray}
p(誤り) &=& \int_{R_1}p({\bf x},C_2)d{\bf x}+\int_{R_2}p({\bf x},C_1)d{\bf x} \\
&\le& \int_{R_1}\left\{p({\bf x},C_1)p({\bf x},C_2)\right\}^{1/2}d{\bf x}+\int_{R_2}\left\{p({\bf x},C_1)p({\bf x},C_2)\right\}^{1/2}d{\bf x} \\
&=& \int\left\{p({\bf x},C_1)p({\bf x},C_2)\right\}^{1/2}d{\bf x}
\end{eqnarray}
\)

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