1.20 高次元ガウス分布

§1 高次元ガウス分布の極座標における半径に関する密度

この問題の意味がいまいち分からなかったので、公式解答を見てみましたが、これまたざっくりで。。。
とりあえず、公式解答と同じような解答を掲載。

高次元ガウス分布は、
\(
\begin{eqnarray}
p({\bf x}) = \frac{1}{(2\pi\sigma^2)^{D/2}}\exp\left(-\frac{||{\bf x}||^2}{2\sigma^2}\right)
\end{eqnarray}
\)

\(p({\bf x})\)は半径方向に関して連続なので、\(r\)から\(r+\epsilon\)の薄皮の体積は、\(S_Dr^{D-1}\epsilon\)となる。
\(||{\bf x}||^2={\bf x^Tx}=r^2\) であるので、

\(
\begin{eqnarray}
\int_{shell} p({\bf x})d{\bf x} &\simeq& p(||{\bf x}||=r)S_Dr^{D-1}\epsilon \\
&=& \frac{S_Dr^{D-1}}{(2\pi\sigma^2)^{D/2}}\exp\left(-\frac{r^2}{2\sigma^2}\right)\times\epsilon \\
&=& p(r)\epsilon
\end{eqnarray}
\)

となる。

§2 \(p(r)\)の停留点

\(p(r)\)の停留点を求めるには、\(p(r)\)を微分して、それを0する\(r\)を求めればよい。
\((f(x)g(x))’ = f’(x)g(x)+f(x)g’(x)\) であるので、

\(
\begin{eqnarray}
\frac{\partial p(r)}{\partial r}
&=& \left(\frac{S_Dr^{D-1}}{(2\pi\sigma^2)^{D/2}}\exp\left(-\frac{r^2}{2\sigma^2}\right)\right)’ \\
&=& \frac{(D-1)S_Dr^{D-2}}{(2\pi\sigma^2)^{D/2}}\exp\left(-\frac{r^2}{2\sigma^2}\right)+\frac{S_Dr^{D-1}}{(2\pi\sigma^2)^{D/2}}\exp\left(-\frac{r^2}{2\sigma^2}\right)\times -\frac{2r}{2\sigma^2} \\
&=& \frac{S_D}{(2\pi\sigma^2)^{D/2}}\exp\left(-\frac{r^2}{2\sigma^2}\right)\times\left\{(D-1)r^{D-2}-\frac{r^D}{\sigma^2}\right\}
\end{eqnarray}
\)

\(\frac{\partial p(r)}{\partial r}=0\) になるのは、\((D-1){\hat r}^{D-2}-\frac{{\hat r}^D}{\sigma^2}=0\)の場合。
したがって、

\(
\begin{eqnarray}
\hat r^2 &=& \sigma^2(D-1) \\
\rightleftharpoons \hat r &=& \sigma\sqrt{D-1}
\end{eqnarray}
\)

となる。\({\hat r} \ge 0\) となるので、\(\hat r = -\sigma\sqrt{D-1}\) は起こりえない。
D が大きい場合、\(D-1 \simeq D\) であるので、\(\hat r = \sigma\sqrt{D}\) とできる。

§3 \(p({\hat r}+\epsilon)\)の特徴

\(
\begin{eqnarray}
p({\hat r}+\epsilon) &=& \frac{S_D({\hat r}+\epsilon)^{D-1}}{(2\pi\sigma^2)^{D/2}}\exp\left(-\frac{({\hat r}+\epsilon)^2}{2\sigma^2}\right) \\
&=& \frac{S_D{\hat r}^{D-1}\left(1+\frac{\epsilon}{\hat r}\right)^{D-1}}{(2\pi\sigma^2)^{D/2}}\exp\left(-\frac{({\hat r}+\epsilon)^2}{2\sigma^2}\right)
\end{eqnarray}
\)

\(x^{D-1} = \exp(\ln x^{D-1}) = (D-1)\exp(\ln x)\) を使うと、

\(
\begin{eqnarray}
p({\hat r}+\epsilon) &=& \frac{S_D{\hat r}^{D-1}}{(2\pi\sigma^2)^{D/2}}\exp\left(-\frac{({\hat r}+\epsilon)^2}{2\sigma^2}+(D-1)\ln\left(1+\frac{\epsilon}{\hat r}\right)\right) \\
&=& \frac{S_D{\hat r}^{D-1}}{(2\pi\sigma^2)^{D/2}}\exp\left(-\frac{{\hat r}^2+2{\hat r}\epsilon+\epsilon^2}{2\sigma^2}+(D-1)\ln\left(1+\frac{\epsilon}{\hat r}\right)\right) \\
&=& \frac{S_D{\hat r}^{D-1}}{(2\pi\sigma^2)^{D/2}}\exp\left(-\frac{{\hat r}^2}{2\sigma^2}\right)\times\exp\left(-\frac{2{\hat r}\epsilon+\epsilon^2}{2\sigma^2}+(D-1)\ln\left(1+\frac{\epsilon}{\hat r}\right)\right) \\
&=& p({\hat r})\times\exp\left(-\frac{2{\hat r}\epsilon+\epsilon^2}{2\sigma^2}+(D-1)\ln\left(1+\frac{\epsilon}{\hat r}\right)\right) \\
\end{eqnarray}
\)

exp の中だけ考える。\(\ln(1+x) \simeq x-\frac{x^2}{2}\) という式を使用する。

\(
\begin{eqnarray}
& &-\frac{2{\hat r}\epsilon+\epsilon^2}{2\sigma^2}+(D-1)\ln\left(1+\frac{\epsilon}{\hat r}\right) \\
&\simeq& -\frac{{\hat r}\epsilon}{\sigma^2}-\frac{\epsilon^2}{2\sigma^2}+(D-1)\frac{\epsilon}{\hat r}-(D-1)\frac{\epsilon^2}{2{\hat r}^2} \\ 
\end{eqnarray}
\)

\(\hat r = \sigma\sqrt{D}\) を代入。

\(
\begin{eqnarray}
& &-\frac{{\hat r}\epsilon}{\sigma^2}-\frac{\epsilon^2}{2\sigma^2}+(D-1)\frac{\epsilon}{\hat r}-(D-1)\frac{\epsilon^2}{2{\hat r}^2} \\ 
&=& -\frac{\sqrt{D}\epsilon}{\sigma}-\frac{\epsilon^2}{2\sigma^2}+\frac{\sqrt{D}\epsilon}{\sigma}-\frac{\epsilon}{\sqrt{D}\sigma}-\frac{\epsilon^2}{2\sigma^2} + \frac{\epsilon^2}{2D\sigma^2} \\
&=& -\frac{\epsilon^2}{\sigma^2}-\frac{\epsilon}{\sqrt{D}\sigma}+\frac{\epsilon^2}{2D\sigma^2}
\end{eqnarray}
\)

再度 \(\hat r\) を戻すと、

\(
\begin{eqnarray}
-\frac{\epsilon^2}{\sigma^2}-\frac{\epsilon}{\hat r}+\frac{\epsilon^2}{2{\hat r}^2}
\end{eqnarray}
\)

となるが、\({\hat r} >> \epsilon\) であるので、後ろの2つの項は0と近似できる。したがって、

\(
\begin{eqnarray}
p({\hat r}+\epsilon)=p(\hat r)\exp\left(-\frac{\epsilon^2}{\sigma^2}\right)
\end{eqnarray}
\)

\(\exp(-x)\)は減衰していく関数なので、\(\epsilon\)が大きくなればなるほど値は小さくなる。
したがって、\(\hat r\)からすこし離れた\({\hat r}+\epsilon\)では、\(p(\hat r)\)よりも小さくなることがわかる。

§4 \(p({\bf x}={\bf 0})\)と\(p(||{\bf x}||=\hat r)\)の比較

\(
\begin{eqnarray}
p({\bf x}={\bf 0})=\frac{1}{(2\pi\sigma^2)^{D/2}}
\end{eqnarray}
\)
\(
\begin{eqnarray}
p(||{\bf x}||=\hat r) &=& \frac{1}{(2\pi\sigma^2)^{D/2}}\exp\left(-\frac{{\hat r}^2}{2\sigma^2}\right) \\
&=& p({\bf x}={\bf 0})\exp\left(-\frac{{\hat r}^2}{2\sigma^2}\right) \\
\end{eqnarray}
\)

\({\hat r} \simeq \sqrt{D}\sigma\) であるので、

\(
\begin{eqnarray}
p(||{\bf x}||=\hat r) &\simeq& p({\bf x} = {\bf 0})\exp\left(-\frac{D\sigma^2}{2\sigma^2}\right) \\
&=& p({\bf x} = {\bf 0})\exp\left(-\frac{D}{2}\right) \\
\end{eqnarray}
\)

したがって、

\(
\begin{eqnarray}
p({\bf x} = {\bf 0}) = p(||{\bf x}||=\hat r)\exp\left(\frac{D}{2}\right) \\
\end{eqnarray}
\)

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