1.19 D次元の超立方体

§1 球と超立方体の体積の比

半径\(a\)の球の体積は、「1-18 D次元の単位球の表面積と体積」より

\(
\begin{eqnarray}
V_D = \frac{S_D}{D}a^D = \frac{2\pi^{D/2}}{D\Gamma(D/2)}a^D
\end{eqnarray}
\)

一辺\(2a\)のD次元の超立方体の体積は、\((2a)^D\)。
したがって、球の体積と超立方体の体積の比は

\(
\begin{eqnarray}
\frac{球の体積}{超立方体の体積} = \frac{\color{red}{2}\pi^{D/2}\color{red}{a^D}}{D\Gamma(D/2)} \times \frac{1}{\color{red}{(2a)^D}}
= \frac{\pi^{D/2}}{D2^{D-1}\Gamma(D/2)}
\end{eqnarray}
\)

この比の\(D \to \infty\)の極限をスターリングのガンマ関数の近似を使って求める。
\(\Gamma(x+1) \simeq (2\pi)^{1/2}e^{-x}x^{x+1/2}\) であるから、\(x+1=D/2\)と置くと、

\(
\begin{eqnarray}
\frac{\pi^{D/2}}{D2^{D-1}\Gamma(D/2)} &=& \frac{\pi^{D/2}}{D2^{D-1}}\frac{e^{\frac{D-2}{2}}2^{\frac{D-1}{2}}}{(2\pi)^{1/2}(D-2)^{\frac{b-1}{2}}} \\
&=& \frac{\pi^{\frac{D-1}{2}}e^{\frac{D-2}{2}}}{2^{D/2}D(D-2)^{\frac{D-1}{2}}} \\
&=& \frac{1}{2^{D/2}D\sqrt{e}}\left(\sqrt{\frac{\pi e}{D-2}}\right)^{D-1} \\
&=& \frac{1}{2^{D/2}D\sqrt{e}\left(\sqrt{\frac{D-2}{\pi e}}\right)^{D-1}} \\
\end{eqnarray}
\)

\(\frac{D-2}{\pi e}\) は \(D \to \infty\) の時には1より大きくなることに留意すると、分母は\(D \to \infty\)で\(\infty\)になる。
したがって、全体としては0に収束する。

§2 超立方体の頂点までの距離

一辺\(2a\)のD次元の超立方体の中心から側面までの距離は、\(a\)。
中心から1つの頂点、例えば、\((a, a, \cdots, a)\) までの距離は、

\(
\begin{eqnarray}
\sqrt{a^2+a^2+ \cdots + a^2} = \sqrt{D}a
\end{eqnarray}
\)

したがって、頂点までの距離を側面までの距離で割った比は \(\sqrt{D}\)。

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です