1.18 D次元の単位球の表面積と体積

§1 D次元の単位球の表面積

ガウス分布の正規化

\(I=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}dx \) の 値を求めるために \(I^2\) を考える。
1-7-ガウス分布の規格化条件」と同じ問題なので、詳細は省略。

\(
\begin{eqnarray}
I^2 &=& \int\int e^{-x^2+y^2}dxdy \\
&=& 2\int_0^{2\pi}\int_0^\infty re^{-r^2}drd\theta \\
&=& 2\pi \int_0^\infty re^{-r^2}dr \\
&=& \pi
\end{eqnarray}
\)

したがって、\(I=\sqrt{\pi}\)。

ガンマ関数の座標変換

まず、ガンマ関数 \(\Gamma(x) = \int_0^\infty u^{x-1}e^{-u}du \) を考える。
\(u=r^2\) としてガンマ関数を座標変換する。
\({\rm d}u = 2r{\rm d}r\) であることに注意。

\(
\begin{eqnarray}
\Gamma(x) &=& \int_0^{\infty} r^{2(x-1)}e^{-r^2}2r{\rm d}r \\
&=& 2\int_0^{\infty} r^{2x-1}e^{-r^2}dr
\end{eqnarray}
\)

\(2x=D\)と置き換えると、

\(
\begin{eqnarray}
\Gamma(D/2) &=& \int_0^{\infty} r^{D-1}e^{-r^2}dr
\end{eqnarray}
\)

したがって、

\(
\begin{eqnarray}
\int_0^{\infty} e^{-r^2}r^{D-1}dr &=& \frac{\Gamma(D/2)}{2}
\end{eqnarray}
\)

単位球の表面積

問題文により、

\(
\begin{eqnarray}
\prod_{i=1}^D \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x_i^2}dx_i = S_D \int_0^\infty e^{-r^2}r^{D-1}dr
\end{eqnarray}
\)

上記の2つの結果を代入すると、

\(
\begin{eqnarray}
& &\prod_{i=1}^D \sqrt{\pi} = \frac{1}{2} S_D \Gamma(D/2) \\
&\rightleftharpoons& \pi^{D/2} = \frac{1}{2} S_D \Gamma(D/2) \\
&\rightleftharpoons& S_D = \frac{2\pi^{D/2}}{\Gamma(D/2)}
\end{eqnarray}
\)

§2 D次元の単位球の体積

単位球の体積は単位球の表面積を半径0から1まで積分することで求められる。

\(
\begin{eqnarray}
V_D &=& \int_0^1 S_Dr^{D-1}dr
&=& S_D\int_0^1 r^{D-1}dr
&=& S_D\left[\frac{1}{D}r^D\right]_0^1
&=& \frac{S_D}{D}
\end{eqnarray}
\)

§3 2次元と3次元の単位球

2次元

\(D=2\)の場合を考える。表面積は、

\(
\begin{eqnarray}
S_2 = \frac{2\pi^{2/2}}{\Gamma(2/2)} = \frac{2\pi}{\Gamma(1)} = 2\pi
\end{eqnarray}
\)

体積は、

\(
\begin{eqnarray}
V_2 = \frac{S_2}{2}r^2 = \frac{2\pi}{2}r^2 = \pi r^2
\end{eqnarray}
\)

3次元

\(D=3\)の場合を考える。表面積は、

\(
\begin{eqnarray}
S_3 = \frac{2\pi^{3/2}}{\Gamma(3/2)} = \frac{2\pi^3/2}{\Gamma(\frac{3}{2})} = 4\pi
\end{eqnarray}
\)

体積は、

\(
\begin{eqnarray}
V_3 = \frac{S_3}{3}r^3 = \frac{4\pi}{3}r^3 = \frac{4}{3}\pi r^3
\end{eqnarray}
\)

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