1.17 ガンマ関数の関係式

ガンマ関数は以下の式で定義される。

\(
\begin{eqnarray}
\Gamma(x) \equiv \int_0^{\infty} u^{x-1}e^{-u}du
\end{eqnarray}
\)

部分積分を使って、\(\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)\) を証明する。
部分積分とは、

\(
\begin{eqnarray}
\int f’(x)g(x)dx = f(x)g(x) – \int f(x)g’(x)dx
\end{eqnarray}
\)

なので、\(f(u) = e^{-u}, g(u)=u^{x-1}\) とすると、\(f’(u) = -e^{-u}, g’(u)=(x-1)u^{x-2}\)。

\(
\begin{eqnarray}
& & \int_0^{\infty} f’(u)g(u)du = \left[f(u)g(u)\right]_0^{\infty} – \int_0^{\infty} f(u)g’(u)du \\
&\rightleftharpoons& \int_0^{\infty} -e^{-u}u^{x-1}du = \left[e^{-u}u^{x-1}\right]_0^{\infty} – \int_0^{\infty} e^{-u}(x-1)u^{x-2}du \\
&\rightleftharpoons& -\int_0^{\infty}e^{-u}u^{x-1}du = -(x-1)\int_0^{\infty} e^{-u}u^{x-2}du \\
\\
&\rightleftharpoons& \Gamma(x) = (x-1)\Gamma(x-1)
\end{eqnarray}
\)

したがって、\(\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)\) である。

\(
\begin{eqnarray}
\Gamma(1) = \int_0^\infty e^{-u}du = \left[-e^{-u}\right]_0^\infty = 1
\end{eqnarray}
\)

また、\(\Gamma(x+1) = x\Gamma(x) = x(x-1)\Gamma(x-1) = \cdots \) なので、\(\Gamma(x+1) = x!\)

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