1.16 多項式の独立パラメータの総数

今度はD次元多項式のM次までの独立パラメータの総数の問題。
D次元多項式とはD個の変数、すなわち \({\bf x} = (x_1, x_2, \cdots, x_D)^T\) があるということ。
M次とはD個の変数からM個を掛け合わせるということ。

1-15 多項式の独立パラメータの数」からM次における独立なパラーメーターの数は \(n(D,M)\) と表される。したがって、

\(
\begin{eqnarray}
N(D,M) &=& n(D,0)+n(D,1)+\cdots+n(D,M) \\
&=& \sum_{m=0}^{M}n(D,m)
\end{eqnarray}
\)

次に \(N(D,M)=\frac{(D+M)!}{D!M!}\) を数学的帰納法により証明する。
まず\(M=0\)の場合を考える。
1-15 多項式の独立パラメータの数」から \(n(D,M) = \frac{(D+M-1)!}{(D-1)!M!}\) であるので、左辺は、

\(
\begin{eqnarray}
N(D,0) &=& n(D,0) \\
&=& \frac{(D-1)!}{(D-1)!0!} \\
&=& 1
\end{eqnarray}
\)

となる。右辺は、

\(
\begin{eqnarray}
\frac{0!}{D!0!} &=& 1
\end{eqnarray}
\)

したがって、\(M=0\)で成立する。
M次元で成立すると仮定して、\(M+1\)次元を考える。

\(
\begin{eqnarray}
N(D,M+1) &=& N(D,M)+n(D,M+1) \\
&=& \frac{(D+M)!}{D!M!} + \frac{(D+M)!}{(D-1)!(M+1)!} \\
&=& (D+M)! \times \frac{M+1+D}{D!(M+1)!} \\
&=& \frac{(D+M+1)!}{D!(M+1)!}
\end{eqnarray}
\)

したがって、\(M+1\)でも成立することが証明された。

n が大きいとき \(n! \simeq n^ne^{-n}\) が成立する。
\(D \gg M \) のとき、当然 \(D! \gg M!\)であるため、分母の \(M!\) は無視できる。
\(
\begin{eqnarray}
(D+M)! \simeq (D+M)^{D+M}e^{-(D+M)} \simeq D^{D+M}e^{-D}
\end{eqnarray}
\)

とできるので、

\(
\begin{eqnarray}
N(D,M) &=& \frac{(D+M)!}{D!M!} \\
&\simeq& \frac{D^{D+M}e^{-D}}{D^De^{-D}} \\
&=& D^M
\end{eqnarray}
\)

同様に \(D \ll M \) の場合は、\(M^D\) となる。

\(D=10, M=3\) の場合、

\(
\begin{eqnarray}
N(10,3) &=& \frac{13!}{10!3!} = \frac{13\times12\times11}{3\times 2} = 286
\end{eqnarray}
\)

\(D=100, M=3\) の場合、

\(
\begin{eqnarray}
N(100,3) &=& \frac{103!}{100!3!} = \frac{103\times102\times101}{3\times 2} = 176851
\end{eqnarray}
\)

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