1.13 ガウス分布の推定量

ガウス分布の分散の推定値 \(\sigma^2_{ML} = \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}(x_n-μ_{ML})^2\) の \(μ_{ML}\) を真の平均μに置き換えた新しい推定量を \(\sigma’_{ML}\) とする。
この期待値を求めてみる。

\(
\begin{eqnarray}
\mathbb{E}[\sigma'^2_{ML}] &=& \mathbb{E}\left[\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}(x_n-μ)^2\right] \\
&=& \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}\mathbb{E}[(x_n-μ)^2] \\
&=& \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}\left(\mathbb{E}[x_n^2]-2\mathbb{E}[μx_n]+\mathbb{E}[μ^2]\right) \\
&=& \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}\left(\mathbb{E}[x_n^2]-2μ\mathbb{E}[x_n]+μ^2\right) \\
&=& \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}\left(μ^2+\sigma^2-2μ^2+μ^2\right) \\
&=& \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}\sigma^2 \\
&=& \frac{1}{N} \times N\sigma^2 \\
&=& \sigma^2
\end{eqnarray}
\)

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