1.10 独立変数の平均と分散

xとzが独立な場合、

\(
\begin{eqnarray}
\mathbb{E}[x+z] &=& \int\int(x+z)p(x)p(z)dxdz \\
&=& \int xp(x)dx + \int zp(z)dz \\
&=& \mathbb{E}[x]+\mathbb{E}[z]
\end{eqnarray}
\)

分散に関しては、

\(
\begin{eqnarray}
var[x+z] &=& \int\int(x+z-\mathbb{E}[x+z])^2p(x)p(z)dxdz \\
\end{eqnarray}
\)

ところで、

\(
\begin{eqnarray}
(x+z-\mathbb{E}[x+z])^2 &=& (x+z-\mathbb{E}[x]-\mathbb{E}[z])^2 \\
&=& (x-\mathbb{E}[x])^2+(z-\mathbb{E}[z])^2+2(x-\mathbb{E}[x])(z-\mathbb{E}[z])
\end{eqnarray}
\)

となる。さらに

\(
\begin{eqnarray}
\int\int(x-\mathbb{E}[x])(z-\mathbb{E}[z])p(x)p(z)dxdz
&=& \int(x-\mathbb{E}[x])p(x)dx \int(z-\mathbb{E}[z])p(z)dz \\
&=& \left(\int xp(x)dx – \mathbb{E}[x]\int p(x)dx\right)\left(\int zp(z)dz – \mathbb{E}[z]\int p(z)dz\right) \\
&=& (\mathbb{E}[x]-\mathbb{E}[x])(\mathbb{E}[z]-\mathbb{E}[z]) \\
&=& 0
\end{eqnarray}
\)

したがって、

\(
\begin{eqnarray}
var[x+z]
&=& \int\int\left\{(x-\mathbb{E}[x])^2+(z-\mathbb{E}[z])^2+2(x-\mathbb{E}[x])(z-\mathbb{E}[z])\right\}p(x)p(z)dxdz \\
&=& \int\int\left\{(x-\mathbb{E}[x])^2+(z-\mathbb{E}[z])^2\right\}p(x)p(z)dxdz \\
&=& \int(x-\mathbb{E}[x])^2p(x)dx+\int(z-\mathbb{E}[z])^2p(z)dz \\
&=& var[x] + var[z]
\end{eqnarray}
\)

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